Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為（2，0），直線y = x+1與二次函數的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上．

（1）二次函數的解析式為y = ；

（2）證明點（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函數圖象上；

（3）若C為線段AB的中點，過點C做CE⊥x軸于點E，CE與二次函數的圖象交于D．

①y軸上存在點K，使K、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點K的坐標是 ．

②二次函數的圖象上是否存在點P，使得三角形 S△ POE＝2S△ABD？若存在，求出P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x＋1；（2）證明見解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在點P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．

【解析】

（1）由二次函數圖象的頂點坐標為（2，0），故根據拋物線的頂點式寫出拋物線解析式．

（2）把該點代入拋物線上，得到m的一元二次方程，根據根的判別式進行判定．

（3）由直線y=x+1與二次函數的圖象交于A，B兩點，解得A、B兩點坐標，求出D點坐標，

①設K點坐標（0，a），使K，A，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則KA=DC，且BA∥DK，進而求出K點的坐標．

②過點B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點，求得B點坐標，可得到S△ POE＝2S△ABD，設P（x，x2-x+1），由題意可以解出x．

解：（1）y＝x2－x＋1（y＝（x－2）2）；

（2）證明：設點（―m，2m―1）在二次函數y＝x2－x＋1的圖象上

則有：2m―1＝m2＋m＋1 ，

整理得m2―4m＋8＝0 ．

∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，

∴原方程無實根 ，

∴點（―m，2m―1）不在二次函數y＝x2－x＋1的圖象上 ．

（3）①K（0，5）或（0，－3）

②二次函數的圖象上存在點P，使得S△POE＝2S△ABD

如圖，過點B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點，

∴OE＝EF，由y＝x2－x＋1和y＝x＋1可求得點B（8，9）．

∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），∴AD∥x軸 ．

∴S△ABD ＝2S△ACD ＝2××4×4＝16 ．

設P（x，x2－x＋1），由題意有：

S△POE ＝×4（x2－x＋1）＝x2－2x＋2 ．

∵S△POE＝2S△ABD，∴x2－2x＋2＝32，

解得x＝－6或x＝10 ．

當x＝－6時，y＝×（－6）2－（－6）＋1＝16．

當x＝10時，y＝×102－10＋1＝16．

∴存在點P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．