Question

已知等邊三角形△ABC和點P，過點P作三邊AB、AC、BC的平行線分別交AC、BC、AB于F、G、E，如圖①，點P在BC邊上可得PE+PF+PG=BC．當點P在△ABC內部時（如圖②），點P在△ABC外部時如圖③，這兩種情況下是否還存在PE+PF+PG=BC的結論？若成立請給予證明，若不成立，那么PE、PF、PG與BC又有怎樣的關系，請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

（1）如圖②，延長FP，與BC交于點D，
∵等邊三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，EP=BD，
∴△PDG為等邊三角形，四邊形PECG為等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG+CG，
∴BC=PE+PF+PG，

（2）如圖③，點P在△ABC外部時，PE+PF+PG=BC的結論不成立，
PE、PF、PG與BC的關系為：PE+PG-PF=BC．
如圖③，延長PF，與BC交于點D，
∵等邊三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠ACB=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFD=60°，EP=BD，
∴△PDG為等邊三角形，四邊形PFCG為等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG-CG，
∴BC=PE+PG-PF．