Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（0，1），點(diǎn)（1，0），正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，以，為鄰邊做正方形．

（Ⅰ）如圖①，求的長(zhǎng)及的值；

（Ⅱ）如圖②，正方形固定，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形，記旋轉(zhuǎn)角為（0°＜＜360°），連接．

①旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)90°時(shí)，求的大小；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，求的長(zhǎng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）①30°，150°，②（，），315°．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題；

（Ⅱ）①因?yàn)椤?/span>BAG′=90°，BG′=2AB，可知sin∠AG′B==，推出∠AG′B=30°，推出旋轉(zhuǎn)角α=30°，據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)∠ABG″=60°時(shí)，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°；

②當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大．

試題解析：解：（Ⅰ）如圖1中，∵A（0，1），∴OA=1．∵四邊形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=．∵BD=DG，∴BG=，∴==．

（Ⅱ）①如圖2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋轉(zhuǎn)角α=30°，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)∠ABG″=60°時(shí)，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°．

綜上所述：旋轉(zhuǎn)角α=30°或150°時(shí)，∠BAG′=90°．

②如圖3中，連接OF．∵四邊形BE′F′G′是正方形的邊長(zhǎng)為，∴BF′=2，∴當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，最大值為+2，此時(shí)α=315°，F′（）．