Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為P．
（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，解得b、c的值，再把解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（x，0），由于根據(jù)圖形，A不可能為直角頂點(diǎn)，則分別討論P(yáng)、Q為直角頂點(diǎn)時(shí)的情況．

解答：解：（1）由題意，得

-1-b+c=0 c=3

，（2分）
解得：b=2，c=3，（1分）
∴二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+3，（1分）
變形為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4）；（2分）

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．（1分）
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，0），
則AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，（1分）
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，0）．（2分）
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（9，0）．（2分）
當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，不合題意．
綜上所述，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，0）或（9，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)二次函數(shù)解析式求解的掌握及函數(shù)與圖形相結(jié)合的綜合問題．