Question

如圖，△ABC的外接圓⊙O的直徑BE交AC于點D，已知弧BC等于120°，cotC=

2

3

3

，則關于x的一元二次方程x2-

3

BDx+BD•DE=0根的情況是（　　）

A．沒有實數恨

B．有兩個相等的正實數根

C．有兩個相等的實數根

D．有兩個不相等的正實數根

Answer 1

過D點作DF⊥BC，垂足為點F，連接CE．
在Rt△CDF中，cotC=

2

3

3

．
設CF=2，則DF=

3

．
已知弧BC等于120°，BE為直徑，
所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．
在Rt△BDF中，BD=2DF=2

3

，BF=3．
在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE=

5

cos30°

=

10 3

3

，
DE=BE-BD=

4 3

3

．
∵△=（

3

BD）²-4•BD•DE
=（

3

×2

3

）²-4×2

3

×

4 3

3

=36-32=4＞0，
又x₁+x₂=

3

BD＞0，x₁•x₂=BD•DE＞0，
∴方程有兩個不相等的正實數根，故選D．