Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點H，點D為AH上的一點，且DH=HC，連接BD并延長BD交AC于點E，連接EH．

（1）請補全圖形；

（2）求證：△ABE是直角三角形；

（3）若BE=a，CE=b，求出S△CEH：S△BEH的值（用含有a，b的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）；

【解析】

（1）根據題意直接補全圖形；

（2）證明△BHD≌△AHC，根據全等三角形的性質，得到∠HBD=∠CAH，又∠HBD+∠BDH=90°，∠BDH=∠ADE，即可得到∠ADE+∠DAE=90°，根據三角形的內角和得到∠AED=90°，即可證明△ABE是直角三角形；

（3）作HM⊥BE于M，HN⊥AC于N．根據全等三角形的性質得到HM=HN，根據三角形的面積公式即可求出S△CEH：S△BEH的值.

（1）解：圖形如圖所示；

（2）證明：∵AH⊥BC，

∴∠BHD=∠AEH=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BAH=∠ABH=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC（SAS），

∴∠HBD=∠CAH，

∵∠HBD+∠BDH=90°，∠BDH=∠ADE，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠AED=90°，

∴△ABE是直角三角形．

（3）作HM⊥BE于M，HN⊥AC于N．

∵△BHD≌△AHC，

∴HM=HN（全等三角形對應邊上的高相等），

∴