Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，E是BC中點，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，將AD折疊，使AD與DF重合，折痕交AB于G，連接BF，CF，則下列結論：①G、F、E三點共線；②BG=8；③△BEF∽△CDF；④S△BFG=.其中正確的有( )

A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根據已知條件易證∠GFD+∠DFE=180°，即可得點G、F、E共線，①正確；設BG=x，則GF=AG=12-x，Rt△BEG中根據勾股定理求得x的值，即可判定②正確；根據折疊的性質和已知條件證得∠CDF=∠BEF，再由BE=FE，FD=CD，即可判定△BEF∽△CDF，③正確；在Rt△BEG中，根據面積法可得EG邊上的高為 ，根據三角形的面積公式即可求得S△BFG=，④正確.

詳解：由題意得∠GFD=∠DFE=90°，

∴∠GFD+∠DFE=180°，故點G、F、E共線，故①正確；

設BG=x，則GF=AG=12-x，

由題意得：EF=CE=BE=6，

在Rt△BEG中，有BG2+BE2=EG2，

解得x=8，故②正確；

在四邊形DCEF中，

∵∠DFE=∠DCE=90°，

∴∠CEF+∠CDF=180°，

又∠CEF+∠BEF=180°，

∴∠CDF=∠BEF，

∵BE=FE，FD=CD，

∴△BEF∽△CDF，故③正確；

在Rt△BEG中，根據面積法可得EG邊上的高為 ，又FG=4，∴S△BFG=，故④正確；

所以正確的有①②③④，故選D.