Question

【題目】閱讀下列材料，并解決后面的問題.

材料：一般地，個相同的因數相乘：個記為，如，此時，3叫做以2為底8的對數，記為（即）.

一般地，若（且，），則叫做以為底的對數，記為（即）.如，則4叫做以3為底81的對數，記為（即）.

問題：（1）計算以下各對數的值：________，________，________.

（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式？、、之間又滿足怎樣的關系式？______________________________________________________________________________

（3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？

____________________（且，，）

（4）根據冪的運算法則：以及對數的含義證明（3）中結論.

Answer 1

【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）;（4）詳見解析

【解析】

（1）根據題意可以得到題目中所求式子的值；

（2）根據題目中的式子可以求得它們之間的關系；

（3）根據題意可以猜想出相應的結論；

（4）根據同底數冪的乘法和對數的性質可以解答本題．

（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6，

故答案為：2，4，6；

（2）由題意可得，4×16＝64，log24、log216、log264之間滿足的關系式是log24＋log216＝log264；

（3）猜想的結論是：logaM＋logaN＝logaMN，

故答案為：logaMN；

（4）證明：設logaM＝m，logaN＝n，

∴M＝am，N＝an，

∴MN＝am＋n，

∴logaM＋logaN＝logaMN．