Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)、，將矩形的一個(gè)角沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕與軸交于點(diǎn)．

（1）求線段的長(zhǎng)度；

（2）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若點(diǎn)在線段上，在線段上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題；

（2）設(shè)AD=x，則OD=OA=AD=12-x，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根據(jù)OE2+DE2=OD2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EP∥BD交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥DE交BD于點(diǎn)Q，則四邊形DEPQ是平行四邊形，再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OD于點(diǎn)F，想辦法求出最小PE的解析式即可解決問(wèn)題.

解：（1）由題知：.

（2）設(shè)，則，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，，，

又，

∴，

在中，，

即，

解得 ，

∴，

∴點(diǎn)，

設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，

則， 解得 ，

∴直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，

（3）存在，過(guò)點(diǎn)作EP∥DB交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作PQ∥ED交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形．再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

由，

得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在直線：上，

∴， 解得 ， ∴

由于EP∥DB，所以可設(shè)直線：，

∵在直線上

∴， 解得 ，

∴直線：，

令，則，

解得，

∴.