Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（8，0），B點在第一象限，BO=BA=5，若M、N是OB和OA中點，
（1）直線MN的解析式為

 

．
（2）△ABN面積=

 

．
（3）將圖（1）中的△NMO繞點O旋轉一周，在旋轉過程中，△ABN面積是否存在最大值、最小值？若不存在，請說明理由；若存在請在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；
（4）將圖（1）中的△NMO繞點O旋轉，當點N在第二象限時，如圖（2），設N（x，y），△ABN的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）要求MN的解析式，要想法求出點M、N的坐標，N是中點，很容易求出N點的坐標，作MC⊥OA，通過解直角三角形可以求出M的坐標，從而求出直線MN的解析式．
（2）連接MN，N是中點，OB=AB，說明△AOB是等腰三角形，根據等腰三角形的性質可以知道BN⊥OA，且利用勾股定理可以求出BN的長度，從而求出三角形ABN的面積．
（3）在旋轉的過程中，當N點落在線段OB上時，△ABN的面積最小，當N點落在線段OB的反向延長線上時，△ABN的面積最大，可以根據面積公式求出其值．
（4）過點N作OA的垂線交OA于E，交AB的延長線于點F，求出EF、ED、AE的長度，利用S_△ANF減去S_△BNF就是△ABN的面積．

解答：解：（1）作MC⊥OA于C
∵A（8，0）
∴OA=8
∵M、N是OA、OB的中點
∴MN是△AOB的中位線，ON=AN=4，OM=BM=

5

2

∴MN=

1

2

AB=

5

2

，N（4，0）
∴OM=MN
∴OC=NC=2，在Rt△OCM中，由勾股定理得，
MC=

3

2

∴M（2，

3

2

）
設：y=kx+b，由題意得

0=4k+b 3 2 =2k+b

解得：

k=- 3 4 b=3

∴MN的解析式為：y=-

3

4

x+3

（2）∵

MC

BN

=

1

2

，且MC=

3

2

∴BN=3
∴S_△ABN=

3×4

2

=6

（3）當N點到達G點時△ANB的面積最小為：

12

5

當N點到達H點時△ANB的面積最大為：

108

5

（4）過點N作NF⊥OA于E交AB的延長線于點F，BD⊥OA于A
∴BD=3，OD=AD=4
∵N（x，y），點N在第二象限
∴NE=y，EO=-x
∴AE=8-x
∵NF⊥OA，BD⊥OA
∴ADB△∽△AEF
∴

DB

EF

=

AD

AE

∴

3

EF

=

4

8-x

∴EF=

24-3x

4

在Rt△NEO中由勾股定理得：
y²+（-x）²=4²
∴y=

16-x2

NF=

24-3x

4

-

16-x2

∵S_△ABN=S_△AFN-S_△NBF
∴S_△ABN=

( 24-3x 4 - 16-x2 )(8-x)

2

- 

( 24-3x 4 - 16-x2 )(4-x)

2

∴S=

24-3x-4 16-x2

2

．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了利用求點的坐標求函數的解析式，三角形的面積，旋轉過程中的面積最大值和最小值．是一道綜合性較強的試題．