Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x²+4x+5的圖象交x軸于點A、B（點A在點B的右邊），交y軸于點C，頂點為P．點M是射線OA上的一個動點（不與點O重合），點N是x軸負半軸上的一點，NH⊥CM，交CM（或CM的延長線）于點H，交y軸于點D，且ND=CM．
（1）求證：OD=OM；
（2）設OM=t，當t為何值時以C、M、P為頂點的三角形是直角三角形？
（3）問：當點M在射線OA上運動時，是否存在實數t，使直線NH與以AB為直徑的圓相切？若存在，請求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可證明∠OND=∠OCM，則△DON≌△MOC，則OD=OM；
（2）根據拋物線的解析式求得點C、P的坐標，從而得出直線PC的解析式，根據兩直線垂直，比例系數k互為負倒數，從而得出t的值；
（3）假設存在實數t，以AB為直徑的圓的半徑為3，假設圓心為E，與直線NH的切點為F，可得△EFN∽△COM，根據相似三角形的性質求得t．

解答：解：（1）∵NH⊥CM，∴∠OND+∠OMC=90°，
∵∠OCM+∠OMC=90°，∴∠OND=∠OCM，
∵ND=CM，∴△DON≌△MOC，
∴OD=OM；

（2）二次函數y=-x²+4x+5的頂點P（2，9），點C的坐標為（0，5），
∴直線PC的解析式為y=2x+5，
∵PC⊥CM，∴直線MC的解析式為y=-

1

2

x+5，
∴點M的坐標為（10，0），
∴t=10；
∴當t為10時，以C、M、P為頂點的三角形是直角三角形；
設M（b，0）
CM²=25+b²
PM²=81+（b-2）²
81+（b-2）²+20=25+b²
b=20
M（20，0）
當t=20時以C、M、P為頂點的三角形是直角三角形．

（3）假設存在實數t，使直線NH與以AB為直徑的圓相切，設圓心為E，與直線NH的切點為F，
由（1）可得△EFN∽△COM，
∴

EF

NE

=

OM

CM

，
∴

3

7

=

t

t2+25

，
解得t=

3

4

10

，
∴存在實數t=

3

4

10

，使直線NH與以AB為直徑的圓相切．

點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了用待定系數法求二次函數的關系式，一次函數的關系式，是中考壓軸題，難度較大．