Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（-4，0），B點坐標為（1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負半軸交于點C．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線對應的函數表達式；
（2）設M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數表達式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據相交弦定理推論可得出OC²=OA•OB，即可求出C點坐標．然后用待定系數法求解即可．
（2）先根據（1）的拋物線求出M的坐標，然后根據M、C的坐標用待定系數求出直線MC的解析式．
（3）直線與圓的位置關系無非是相切或不相切，可連接PC，證PC是否與MC垂直即可．（本題可先求出直線MC與x軸的交點N的坐標，然后分別求出PN，PC，CN的長，用勾股定理進行判斷）．

解答：解：（1）連接PC，
∵A（-4，0），B（1，0）
∴AB=5
∵P是AB的中點，且是⊙P的圓心
∴PC=PA=

5

2

，OP=4-

5

2

=

3

2

．
∴OC=

PC2-OP2

=

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=2
∴C（0，-2）．
設經過A、B、C三點的拋物線為y=a（x-1）（x+4），
∴-2=a（0-1）（0+4）
解得a=

1

2

．
∴拋物線為y=

1

2

（x-1）（x+4），
即y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）將y=

1

2

x²+

3

2

x-2配方，得y=

1

2

（x+

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點M為（-

3

2

，-

25

8

）．
設直線MC為y=kx+b，則有

-2=b - 25 8 =- 3 2 k+b

，
解得

k= 3 4 b=-2

．
∴直線MC為y=

3

4

x-2．

（3）直線MC與⊙P相切．
設MC與x軸交于點N，
在y=

3

4

x-2中，令y=0，得x=

8

3

．
∴ON=

8

3

，PN=

8

3

+

3

2

=

25

6

，CN=

ON2+OC2

=

( 8 3 )2+22

=

10

3

．
∴CN²+PC²=（

10

3

）²+（

5

2

）²=（

25

6

）²=PN²．
∴∠PCN=90度．
∴MC與⊙P相切．

點評：本題考查了二次函數、一次函數解析式的確定、勾股定理、切線的判定等知識．