Question

如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，以B為圓心，AB為半徑作

AC

，在扇形BAC內作⊙O與AB、BC、

AC

都相切，則⊙O的周長等于（　　）

• A．

  4

  9

  π
• B．

  2

  3

  π
• C．

  4

  3

  π
• D．π

Answer 1

分析：連接OB并延長與

AC

交于點E，設AB與圓的切點為D，連接OD，由三角形ABC為等邊三角形得到BA=BC，且∠ABC=60°，再由以B為圓心，AB為半徑作

AC

，得到BE=BA=BC=2，根據對稱性得到∠ABE=30°，由AB與圓O相切，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BOD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OD等于OB的一半，設OD=OE=x，可得出OB=2x，由BO+OE=BE=2，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓O的半徑，即可求出圓O的周長．

解答：解：連接OB并延長與

AC

交于點E，設AB與圓的切點為D，連接OD，
∵△ABC為等邊三角形，以B為圓心，AB為半徑作

AC

，
∴∠ABC=60°，BA=BC=BE=2，
由對稱性得到：∠ABE=30°，
∵AB為圓O的切線，
∴OD⊥AB，
在Rt△BOD中，∠ABE=30°，設OD=OE=x，
可得OB=2x，
∴OB+OE=BE，即2x+x=2，
解得：x=

2

3

，即圓O的半徑為

2

3

，
則圓O的周長為

4

3

π．
故選C．

點評：此題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，含30°直角三角形的性質，利用了方程的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．