Question

如圖一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P為BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC邊動點(diǎn)，分別以Cm、MQ為邊做等邊△MPF和等邊△PQE，連接EF．
（一）試探索EF與AB位置關(guān)系，并證明；
（5）如圖5，當(dāng)點(diǎn)P為BC延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，（一）結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC邊動點(diǎn)，分別以CP、PQ為腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，連接EF．要使（一）的結(jié)論依然成立，則需要添加怎樣的條件？為什么？

Answer 1

(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析

（1）通過等邊三角形的性質(zhì)（三條邊相等、三個(gè)角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（同位角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質(zhì)（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（2）通過等邊三角形的性質(zhì)（三條邊相等、三個(gè)角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質(zhì)（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（3）需要添加的條件需滿足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
解：（1）EF⊥AB．
∵△PCF和△PQE都是等邊三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EPF=∠QPC=60°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（同位角相等，兩直線平行），
∴EF⊥AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為BC延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）結(jié)論成立．
證明：∵△PCF和△PQE都是等邊三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EFP=∠QCP=60°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴EF⊥AB；
（3）要使（1）1結(jié)論依然成立，則需要添加條件是：∠CPF=∠B=∠QPE．
需要證明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），才能證明EF⊥AB．