Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），經過點的直線與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，且．

直接寫出點的坐標，并求直線的函數表達式（其中，用含的式子表示）；

點是直線上方的拋物線上的一點，若的面積的最大值為，求的值；

設是拋物線對稱軸上的一點，點在拋物線上，以點，，，為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），；（2）a=﹣；（3）點的坐標為，．

【解析】

（1）解方程即可得到結論；根據直線l：y=kx+b過A（﹣1，0），得到直線l：y=kx+k，解方程得到點D的橫坐標為4，求得k=a，得到直線l的函數表達式為y=ax+a；

（2）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），設P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結論．

（1）當y=0時，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

∵直線l：y=kx+b過A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直線l：y=kx+k．

∵拋物線與直線l交于點A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0．

∵CD=4AC，∴點D的橫坐標為4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直線l的函數表達式為y=ax+a；

（2）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面積的最大值=﹣a．

∵△ACE的面積的最大值為，∴﹣a=，解得：a=﹣；

（3）以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a）．

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，設P（1，m），∴分兩種情況討論：

①若AD是矩形ADPQ的一條邊，則易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，則P（1，26a）．

∵四邊形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=．

∵a＜0，∴a=，∴P（1，）；

②若AD是矩形APDQ的對角線，則易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，則P（1，8a）．

∵四邊形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=．

∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4）．

綜上所述：點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P（1，﹣）或（1，﹣4）．