Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AB于點D，點E為BC的中點，連接OD、DE．

（1）求證：OD⊥DE；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）12π﹣9．

【解析】

（1）連接DB，根據圓周角定理、直角三角形的性質證明；

（2）根據扇形面積公式計算即可．

（1）證明：連接DB．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∵點E是BC的中點，

∴DE＝CE＝BC，

∴∠EDC＝∠C，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠C＝90°，

∴∠ADO+∠EDC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE；

（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，

∴AD＝6，

陰影部分的面積＝﹣×6×3

＝12π﹣9．