Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，拋物線與x軸交于點A，C（點A在點C的左側），與y軸交于點B，頂點為D.點Q為線段BC的三等分點（靠近點C）.

（1）點M為拋物線對稱軸上一點，點E為對稱軸右側拋物線上的點且位于第一象限，當的周長最小時，求面積的最大值；

（2）在（1）的條件下，當的面積最大時，過點E作軸，垂足為N，將線段CN繞點C順時針旋轉90°得到點N，再將點N向上平移個單位長度.得到點P，點G在拋物線的對稱軸上，請問在平面直角坐標系內是否存在一點H，使點D，P，G，H構成菱形.若存在，請直接寫出點H的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，

【解析】

（1）連接QA交拋物線對稱軸于M，此時△MQC周長最小，可求出M（1，），再求出直線CM解析式y=-x+1，設點E（t，-t2+2t+3），根據S△ECM=ES（C橫坐標-M橫坐標）可得出S△ECM=-（t-）2+，即S△CME最大值=；

（2）根據題意可求得P（3，2），利用兩點間距離公式或勾股定理得DP=2，由菱形性質得PH∥DG∥y軸，PH=DP=2，分兩種情況：①點H在點P上方；②點H在點P下方．

（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），C（3，0），

令x=0，得y=3，

∴B（0，3），

如圖1，過Q作QF⊥x軸于F，

∵QF∥OB，

∴△CQF∽△CBO，

∴

∵點Q為線段BC的三等分點（靠近點C），

∴

∴，

∴QF=CF=1，

∴Q（2，1），

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），拋物線對稱軸x=1

連接AQ交拋物線對稱軸于M，則M（1，），此時△MQC周長最小．

設直線CM解析式為y=kxb，則，解得：；

∴y=-x+1，

設E（t，-t2+2t+3）為拋物線對稱軸右側且位于第一象限內的點，過E作EN⊥x軸于N，EN交CM于S，

則，S（t，-t+1），

∴ES=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+t+2，

∴S△CME＝×2ES=-t2+t+2=-（t-）2+，

∵-1＜0，

∴當t=時，S△CME最大值=，

（2）存在．如圖2，由（1）知CN=OC-ON=3-=，由旋轉得CN′=CN=，CN′⊥x軸，

由題意得CP⊥x軸，CP=CN′+N′P=2，

∴P（3，2）

∴DP=，

∵四邊形DPHG是菱形，

∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，

∴H（3，2-2），

如圖3，

∵四邊形DPHG是菱形，

∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，

∴H（3，2+2）．

如圖4，四邊形DPGH是菱形，P與H關于拋物線對稱軸對稱，

∴H（-1，2）．

如圖5，過點P作PG⊥直線x=1于G，作DH⊥直線x=1，過P作PH⊥DH于H，

∵PH=DG=DH=PG=2，∠PGD=90°

∴四邊形DPGH是菱形，

∴H（3，4）

綜上所述，點H的坐標為（3，2-2）或（3，2+2）或（-1，2）或（3，4）．