Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線與軸交于點D（0，3）．

小題1:直接寫出的值；
小題2:若拋物線與軸交于A、B兩點（點B在點A的右邊），頂點為C點，求直線BC的解析式；
小題3:已知點P是直線BC上一個動點，
①當點P在線段BC上運動時（點P不與B、C重合），過點P作PE⊥軸，垂足為E，連結BE．設點P的坐標為（），△PBE的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍，并求出的最大值；
②試探索：在直線BC上是否存在著點P，使得以點P為圓心，半徑為的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

 
小題1:．……………………………（2分）
小題2:由（1）知拋物線為：

∴頂點C坐標為（1，4）    ……………………………（3分）
令   ∴ B（3，0）……………………（4分）
設直線BC解析式為：（），把B、C兩點坐標代入，
得解得．
∴直線BC解析式為．……………………（5分）
小題3:①∵點P（x，y）在的圖象上，

∴PE，OE  ……………………（6分）
∴PE·OE
∴………………（7分）
．
符合，
∴當時，s取得最大值，最大值為．……（8分）
②答：存在．
如圖，設拋物線的對稱軸交x軸于點F，則CF=4，BF=2.

過P作PQ⊥CF于Q，則Rt△CPQ∽Rt△CBF
∴   ∴CQ=2r……………（9分）
當⊙P與⊙C外切時，CP．

解得舍去）．……………（10分）
此時．……………………（11分）
當⊙P與⊙C內切時，CP．
．
解得舍去）．……………………（12分）
此時．
∴當時，⊙P與⊙C相切．
點P的坐標為，
．……………………（13分）

略