Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DCBAD方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DABCD方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E在線段BC上，且BE=1cm，若M、N兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，到第一次相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求經(jīng)過幾秒鐘M、N兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)？

（2）求點(diǎn)A、E、M、N構(gòu)成平行四邊形時(shí)，M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），用含字母t的代數(shù)式表示△EMN的面積S（cm2）．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過6 s兩點(diǎn)相遇．（2）當(dāng)點(diǎn)A、E、M、N構(gòu)成平行四邊形時(shí)，M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4或4.8s．（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，S =-3t2+t；當(dāng)≤t＜時(shí)，S=S△EMN=EMCD=×（3t-5-1）×5=35-t；當(dāng)＜t≤5時(shí)，S= t-35；當(dāng)5＜t＜6時(shí)，S =15-t．

【解析】

（1）由題意可得：M、N兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，到第一次相遇時(shí)共運(yùn)動(dòng)了：2（5+10）=30（cm），則可得t=30÷（2+3）=6；
（2）由題意知，當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N才可能組成平行四邊形，然后設(shè)經(jīng)過t秒，四點(diǎn)可組成平行四邊形，①當(dāng)構(gòu)成AEMN時(shí)，10-2t=14-3t，②當(dāng)構(gòu)成AMEN時(shí)，10-2t=3t-14，繼而求得答案；

（3）分別從當(dāng) 0＜t＜時(shí)，當(dāng)＜時(shí)，當(dāng)t＜5時(shí)，當(dāng)5＜t＜6時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，

∴M、N兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，到第一次相遇時(shí)共運(yùn)動(dòng)了：2（5+10）=30（cm），

∴t=30÷（2+3）=6 （s）

答：經(jīng)過6 s兩點(diǎn)相遇．

故答案為：6s.

（2）由題意知，當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N才可能組成平行四邊形，

設(shè)經(jīng)過t秒，四點(diǎn)可組成平行四邊形，

①當(dāng)構(gòu)成AEMN時(shí)，10-2t=14-3t，

解得t =4；

②當(dāng)構(gòu)成AMEN時(shí)，10-2t=3t-14，

解得t=4.8；

答：當(dāng)點(diǎn)A、E、M、N構(gòu)成平行四邊形時(shí)，M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s或4.8s．

故答案為：4s或4.8s．

（3）如圖（1），當(dāng)0＜t＜時(shí)，點(diǎn)M在線段CD上，

S＝S△EMN =S梯形CDNE-S△DMN-S△CEM=×（2t+9）×5 - ×2t×3t - ×9×（5-3t）=-3t2+t；

如圖（2），當(dāng)≤t＜時(shí)，點(diǎn)M在線段CE上，

S＝S△EMN=EMCD=×（3t-5-1）×5=35-t；

如圖（3），當(dāng)＜t＜5時(shí)，點(diǎn)M在線段BE上，

S＝S△EMN=MECD =×（3t-14）×5=t-35；

如圖（4），當(dāng)5＜t＜6時(shí)，點(diǎn)M、N都在線段AB上，

S=S△EMN=MNBE=×（30-2t-3t）×1=15-t．

故答案為：當(dāng)0＜t＜時(shí)，S =-3t2+t；當(dāng)≤t＜時(shí)，S= 35-t；當(dāng)＜t＜5時(shí)，S= t-35；當(dāng)5＜t＜6時(shí)，S =15-t．