Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C、E在半圓AB上，CF⊥AB于點F，BE交CF于點D，且∠BDF=2∠C
（1）求證：

BC

=

EC

；
（2）若CF=8，OA=10，求BE的長．

Answer 1

（1）證明：延長CF交⊙O于M，
∵CF⊥AB，
∴

BM

=

BC

，
∵∠BDF=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴

BM

=

CE

，
∴

BC

=

CE

，

（2）連接OC，交BE于H，
∵

BC

=

CE

，
∴OH⊥BE，
∵AB直徑，
∴∠E=90°，
∴OH∥AE，
∴OH=

1

2

AE，
∵在△OBH和△OCF中，

∠BOH=∠COF ∠OHB=∠OFC OB=OC

，
∴△OBH≌△OCF（AAS），
∵OA=10，
∴OB=OC=10，
∴AB=20，
∴OH=OF=

102-82

=6，
∴AE=12，
∴BE=

AB2-AE2

=

202-122

=16．