Question

【題目】如圖，直線y=x+b（b＞4）與x軸、y軸分別相交于點A、B，與反比例函數 的圖象相交于點C、D（點C在點D的左側），⊙O是以CD長為半徑的圓．CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點E．
（1）△CDE是三角形；點C的坐標為 ， 點D的坐標為（用含有b的代數式表示）；
（2）b為何值時，點E在⊙O上？
（3）隨著b取值逐漸增大，直線y=x+b與⊙O有哪些位置關系？求出相應b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）等腰直角；（ ， ）；（ ， ）
（2）解：當點E在⊙O上時，如圖1，連接OE．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴E點橫坐標為： ，縱坐標為： ，

則OE=CD．

∵直線y=x+b與x軸、y軸相交于點A（﹣b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，

∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．

∵整個圖形是軸對稱圖形，

∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．

∵CE∥x軸，DE∥y軸，

∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形．

∴OE=AC=BD．

∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．

過點C作CF⊥x軸，垂足為點F．

則△AFC∽△AOB．

∴ ．

∴AF=CF= BO= b．

∴ ，

解得： ．

∵b＞4，∴ ．

∴當 時，點E在⊙O上

（3）解：當⊙O與直線y=x+b相切于點G時，

如圖2，連接OG．

∵整個圖形是軸對稱圖形，

∴點O、E、G在對稱軸上．

∴GC=GD= CD= OG= AG．

∴AC=CG=GD=DB．

∴AC= AB．

過點C作CH⊥x軸，垂足為點H．

則△AHC∽△AOB．

∴ ．

∴C的縱坐標： ．

∴ ，

解得 ．

∵b＞4，∴ ．

∴當 時，直線y=x+b與⊙O相切；

當 時，直線y=x+b與⊙O相離；

當 時，直線y=x+b與⊙O相交．

【解析】解：（1）根據直線y=x+b（b＞4）與反比例函數 的圖象相交于點C、D，CE∥x軸，DE∥y軸， 則y=x+b與y=x平行，
故∠DCE=45°，
則△CDE是等腰直角三角形；
將y=x+b與y=﹣ ，聯立得出：
x+b=﹣ ，
解得：x1= ，x2= ，分別代入y=x+b得：
y1= ，y2= ，
故點C的坐標為：（ ， ），
點D的坐標為：（ ， ）；
所以答案是：等腰直角，（ ， ），（ ， ）；