Question

已知拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（-1，-1），設線段AB的長為d．
（1）用含有p的式子表示q．
（2）求d²與p的關系式．
（3）當p為何值時，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

（1）將x=-1，y=-1代入拋物線解析式得：-1=1-p+q，
則q=p-2，

（2）拋物線y=x²+px+q，令y=0，得到x²+px+q=0，
設A，B的橫坐標分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∵線段AB的長為d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

，
∴d²=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4；

（3）當p=2時，d²取得最小值，最小值為4．