Question

【題目】如圖：已知拋物線與軸，軸分別交于點，此拋物線的對稱軸為直線 ．

求出此拋物線的解析式；

如圖 1，拋物線的頂點為點，點是直線下方拋物線上的一點（異于點），當時，求出點的坐標；

在的條件下，將拋物線沿射線方向平移，點的對應點為，在拋物線平移的過程中，若，請直接寫出此時平移后的拋物線解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）；新拋物線解析式為新拋物線解析式為或．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸和A、C兩點的坐標即可求出結論；

（2）先求出點D的坐標，過點作直線交拋物線于點，根據平行線的距離處處相等可得此時，利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后求出直線DP的解析式，然后聯立方程即可求出點P的坐標；

（3）根據點P′與BC的位置關系分類討論，分別畫出對應的圖形，利用待定系數法求出各個直線的解析式，聯立方程即可求出點P′的坐標，從而求出平移方式，然后即可求出新拋物線的解析式．

由題拋物線對稱軸為直線 且過點

得，

拋物線解析式為

由題拋物線的頂點

過點作直線交拋物線于點，根據平行線的距離處處相等可得此時

利用對稱性可知點B的坐標為（5,0）

設直線BC的解析式為y=kx＋d

將代入，得

解得：

設直線DP的解析式為y=x＋e

將點D的坐標代入，得

解得：e=-11

則

解得：（舍去），

若點P′在BC右側時，作∠ECB=∠PBC交BP與點E，過點P作PP′∥DC交EC于P′，連接OE，如下圖所示，易知點P′符合條件

∴EB=EC

∵OB=OC=5，

∴OE垂直平分BC

∴∠BOE=∠BOC=45°，即點E在∠BOC的角平分線上

∴可設E點的坐標為（m，-m）

設直線BP的解析式為y=k1x＋b1

將點B、P的坐標代入，可得

解得：

∴直線BP的解析式為y=4x-20

將點E的坐標代入可得-m=4m-20

解得：m=4

∴點E的坐標為（4，-4）

同理可得CE的解析式為y=x-5

直線CD的解析式為y=-2x-5

直線PP′的解析式為y=-2x-2

聯立

解得：

∴點P′（）

∴點到點P′（）的平移方式為先向左平移個單位長度，在向上平移個單位長度

原拋物線的解析式為

∴新拋物線解析式為

若點P′在BC左側時，作CP′∥BP，PP′∥CD，CP′與PP′交于點P′，如下圖所示，此時

由上可知：直線BP的解析式為y=4x-20，可得直線CP′的解析式為y=4x-5

直線PP′的解析式為y=-2x-2

聯立

解得：

∴點P′（）

∴點到點P′（）的平移方式為先向左平移個單位長度，在向上平移5個單位長度

原拋物線的解析式為

∴新拋物線解析式為

綜上：新拋物線解析式為或