Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，點D為AB延長線一點，連接AC．

(Ⅰ)如圖①，OB=BD，若DC與⊙O相切，求∠D和∠A的大小；

(Ⅱ)如圖②，CD與⊙O交于點E，AF⊥CD于點F連接AE，若∠EAB=18°，求∠FAC的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)∠D=∠A=30°；(Ⅱ)18°

【解析】

(Ⅰ)如圖①，連接OC，BC，根據已知條件可以證明△OBC是等邊三角形，進而可得∠D和∠A的大小；

(Ⅱ)如圖②，連接BE，根據AB為⊙O的直徑，可得∠AEB=90°，由AF⊥CD，得∠AFC=90°，再根據∠ACF是圓內接四邊形ACEB的外角，即可求∠FAC的大小．

(Ⅰ)如圖①，連接OC，BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵DC與⊙O相切，

∴∠OCD=90°，

∵OB=BD，

∴BC=OD=OB=BD，

∴BC=OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=∠OCB=∠COB=60°，

∴∠BCD=∠OCA=30°，

∴∠D=∠A=30°；

(Ⅱ)如圖②，連接BE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC=90°，

∵∠ACF是圓內接四邊形ACEB的外角，

∴∠ACF=∠ABE，

∴∠FAC=∠EAB=18°，

答：∠FAC的大小為18°．