Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC為直角，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，點E為BC中點，連結DE，DB

（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若∠C=30°，求∠BOD的度數；
（3）在（2）的條件下，若⊙O半徑為2，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD，

∵AB為⊙O為直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

又∵E是斜邊BC的中點

∴DE=BE=CE，

∴∠BDE=∠DBE，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD

∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°

即DE與⊙O相切．

（也可以通過證明△OBE≌△ODE得到∠ODE=∠OBE=90°）

（2）解：若∠C=30°而DE=CE，

∴∠DEB=60°

在四邊形OBED中，則∠BOD=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°

（3）解：連結OE，則∠OED=∠OEB=30°

∵OD=OB=2∴DE=BE=2

∴S陰影部分=S四邊形OBED﹣S扇形OBD=S△OBE+S△ODE﹣S扇形OBD

=2 +2 ﹣ =4 ﹣ ．

【解析】（1）要證明DE與與⊙O相切；只要證明∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°即可；（2）在四邊形OBED中，利用四邊形的內角和求∠BOD即可；（3）用S陰影部分=S四邊形OBED﹣S扇形OBD=S△OBE+S△ODE﹣S扇形OBD計算即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．