Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OA=2，AB=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）。
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，可得k=4。
∴反比例函數(shù)解析式為：。
∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)。
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）。
（2）結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，），
則CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，
在Rt△CDF中，。
由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。
又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。
∴，即。
∴=1，解得：k=3。

（1）根據(jù)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，繼而得出答案。
（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，2），點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應(yīng)邊成比例可求出k的值。