Question

已知點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（3，0）和（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，直線CP與y軸交于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AB移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心，以

AB

2

的長為半徑作⊙P，過點(diǎn)C作⊙P的兩條切線，切點(diǎn)分別是E和F．
①若⊙P與x軸相切時(shí)，求CE的長；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形CEPF的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出OA、OB、OC的長度，再根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后求出△COD和△BOA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解；
（2）①先求出直線AB的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)切線的定義可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的長度等于⊙P的半徑，然后求解得到x的值，即可得解；
②根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PC的長度，再利用勾股定理表示出CE，然后根據(jù)切線長定理可得四邊形CEPF的面積等于△PCE的面積的2倍，然后根據(jù)三角形的面積公式列式并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，4），C（-2，0），
∴OA=3，OB=4，OC=2，
根據(jù)勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵CP⊥AB，
∴∠DCO+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DCO=∠ABO，
又∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴

CD

AB

=

CO

BO

，
即

CD

5

=

2

4

，
解得CD=

5

2

；

（2）①由A（3，0），B（0，4）可求直線AB的解析式為y=-

4

3

x+4，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

4

3

x+4），
∵⊙P與x軸相切，
∴|-

4

3

x+4|=

AB

2

=

5

2

，
即-

4

3

x+4=

5

2

或-

4

3

x+4=-

5

2

，
解得x=

9

8

或x=

39

8

，
所以，CE=

9

8

-（-2）=

9

8

+2=

25

8

，
或CE=

39

8

-（-2）=

39

8

+2=

55

8

；

②∵點(diǎn)P（x，-

4

3

x+4），C（-2，0），
∴PC=

(x+2)2+(- 4 3 x+4-0)2

，
∵⊙P的半徑為

AB

2

=

5

2

，
∴根據(jù)勾股定理得，CE=

PC2-PE2

=

(x+2)2+(- 4 3 x+4)2-( 5 2 )2

=

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
根據(jù)切線長定理，△PCE與△PCF關(guān)于直線PC成軸對稱，
∴四邊形CEPF的面積=2S_△PCE=2×

1

2

•

( 5 3 x-2)2+ 39 4

×

5

2

=

5

2

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
當(dāng)

5

3

x-2=0，即x=

6

5

時(shí)，四邊形CEPF的面積有最小值，最小值為

5

2

×

39 4

=

5 39

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)的問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，切線長定理，以及兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值問題，利用直線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，本題運(yùn)算量較大，比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真．