Question

已知點A和點B的坐標分別是（3，0）和（0，4），點C的坐標為（-2，0），點P是直線AB上一動點，直線CP與y軸交于點D．
（1）當CP⊥AB時，求CD的長；
（2）當點P沿直線AB移動時，以點P為圓心，以的長為半徑作⊙P，過點C作⊙P的兩條切線，切點分別是E和F．
①若⊙P與x軸相切時，求CE的長；
②當點P在直線AB上運動時，求四邊形CEPF的面積的最小值．

Answer 1

解：（1）∵A（3，0），B（0，4），C（-2，0），
∴OA=3，OB=4，OC=2，
根據勾股定理，AB===5，
∵CP⊥AB，
∴∠DCO+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DCO=∠ABO，
又∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴=，
即=，
解得CD=；

（2）①由A（3，0），B（0，4）可求直線AB的解析式為y=-x+4，
設點P的坐標為（x，-x+4），
∵⊙P與x軸相切，
∴|-x+4|==，
即-x+4=或-x+4=-，
解得x=或x=，
所以，CE=-（-2）=+2=，
或CE=-（-2）=+2=；

②∵點P（x，-x+4），C（-2，0），
∴PC=，
∵⊙P的半徑為=，
∴根據勾股定理得，CE===，
根據切線長定理，△PCE與△PCF關于直線PC成軸對稱，
∴四邊形CEPF的面積=2S_△PCE=2ו×=，
當x-2=0，即x=時，四邊形CEPF的面積有最小值，最小值為×=．
分析：（1）根據點A、B、C的坐標求出OA、OB、OC的長度，再根據勾股定理求出AB的長度，然后求出△COD和△BOA相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；
（2）①先求出直線AB的解析式，然后設出點P的坐標，根據切線的定義可得點P的縱坐標的長度等于⊙P的半徑，然后求解得到x的值，即可得解；
②根據點P的坐標，利用兩點間的距離公式求出PC的長度，再利用勾股定理表示出CE，然后根據切線長定理可得四邊形CEPF的面積等于△PCE的面積的2倍，然后根據三角形的面積公式列式并整理，再根據二次函數的最值問題解答．
點評：本題綜合考查了一次函數的問題，主要涉及相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，切線長定理，以及兩點間的距離公式，二次函數的最值問題，利用直線解析式設出點P的坐標是解題的關鍵，本題運算量較大，比較復雜，計算時要仔細認真．