Question

【題目】如圖，在中，對角線、相交于點，點、分別是邊、上的點，連結、、．若，，，則周長的最小值是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點O關于AB的對稱點M，點O關于AD的對稱點N，連接MN交AB于F，交AD于E，此時△OEF的周長最小，周長的最小值＝MN，由作圖得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，過D作DP⊥AB于P，則△ADP是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根據三角形的中位線的性質得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，根據勾股定理求出AO＝，然后根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

解：作點O關于AB的對稱點M，點O關于AD的對稱點N，連接MN交AB于F，交AD于E，此時△OEF的周長最小，周長的最小值＝MN，

∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，

∵∠DAB＝45°，

∴∠MAN＝90°，

過D作DP⊥AB于P，則△ADP是等腰直角三角形，

∴AP＝DP＝AD，

∵AD＝BC＝，

∴AP＝DP＝5，

設OM⊥AB于Q，則OQ∥DP，

∵OD＝OB，

∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，

∴AQ＝6，

∴AO＝，

∴AM＝AN＝AO＝，

∴MN＝AM＝，

∴△OEF周長的最小值是．

故答案為：．