Question

【題目】(2016四川省樂山市第26題)如圖1，二次函數的圖象與軸分別交于A、B兩點，與軸交于點C．若tan∠ABC=3，一元二次方程的兩根為－8、2．

（1）求二次函數的解析式；

（2）直線繞點A以AB為起始位置順時針旋轉到AC位置停止，與線段BC交于點D，P是AD的中點．

①求點P的運動路程；

②如圖2，過點D作DE垂直軸于點E，作DF⊥AC所在直線于點F，連結PE、PF，在運動過程中，∠EPF的大小是否改變？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，連結，求△PEF周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不變，理由見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由與軸分別交于A、B兩點，且一元二次方程的兩根為－8、2，可得點A、點B的坐標，即可得到OB的長，又由tan∠ABC=3，得到點C（0，－6），將 A、B、C的坐標代入二次函數中，即可得到二次函數解析式；

（2）①如圖6.1，當l在AB位置時，P即為AB的中點H，當l運動到AC位置時，P即為AC的中點K，故P的運動路程為△ABC的中位線HK，在Rt△BOC中，由勾股定理得到BC的長，再由三角形中位線定理可得到HK的長，即P的運動路程；

②∠EPF的大小不會改變．由于，P為Rt△AED斜邊AD的中點，故PE=AD=PA，從而∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF，即可得到∠EPF=2∠EAF，故∠EPF的大小不會改變；

（3）設△PEF的周長為C，則=PE+PF+EF=AD+EF，在等腰三角形PEF中，過P作PG⊥EF于點G，得到∠EPG=∠EPF=∠BAC，由于tan∠BAC=，故tan∠EPG=，得到EG=PE，EF=PE=AD，從而有=AD+EF=AD=AD，又當AD⊥BC時，AD最小，此時最小，由=30，得到AD=，從而得到最小值．

試題解析：（1）∵函數的圖象與軸分別交于A、B兩點，且一元二次方程的兩根為－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，－6），將 A（－8，0）、B（2，0）代入中，解得：，，∴二次函數解析式為：；

（2）①如圖6.1，當l在AB位置時，P即為AB的中點H，當l運動到AC位置時，P即為AC的中點K，∴P的運動路程為△ABC的中位線HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=，∴HK=，即P的運動路程為；

②∠EPF的大小不會改變．理由如下：

∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P為斜邊AD的中點，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小不變，∴∠EPF的大小不會改變；

（3）設△PEF的周長為C，則=PE+PF+EF，∵PE=AD，PF=AD，∴=AD+EF，在等腰三角形PEF中，過P作PG⊥EF于點G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC=，∴tan∠EPG=，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴=AD+EF=AD=AD，又當AD⊥BC時，AD最小，此時最小，∵=30，∴BC·AD=30，∴AD=，∴最小值為：AD=．