Question

【題目】如圖，中，垂足是D，AE平分，交BC于點E，在外有一點F，使.

（1）求∠ACF的度數；

（2）求證：；

（3）在AB上取一點M，使，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°；

（2）由∠B =45°，∠ACF=45°，得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（3）過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可．

試題解析：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°；

（2）∵∠B =45°，∠ACF=45°，∴∠B=∠ACF．

∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE和△ACF中，∵∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∠B＝∠ACF

∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；

（3）如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°．

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE．

∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．