Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．

（1）若∠BAC=30°，求證：CD平分OB．
（2）若點E為的中點，連接0E，CE．求證：CE平分∠OCD．
（3）若⊙O的半徑為4，∠BAC=30°，則圓周上到直線AC距離為3的點有多少個？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2，理由見解析.

試題分析：（1）根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，而∠BAC=30°，所以∠B=60°，于是可判斷△OBC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質由CD⊥OB易得CD平分OB；
（2）由點E為的中點，根據垂徑定理的推論得OE⊥AB，則OE∥CD，根據平行線的性質得∠OEC=∠ECD，而∠OEC=∠OCE，所以∠OCE=∠ECD；
（3）作OF⊥AC于F，交⊙O于G，根據含30度的直角三角形三邊的關系得OF=OA=2，則GF=OG-OF=2，于是可得到在弧AC上沒有一個點到AC的距離為3cm，在弧AEC上有兩個點到AC的距離為3cm．
試題解析：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
而OC=OB，
∴△OBC為等邊三角形，
∵CD⊥OB，
∴CD平分OB；
（2）證明：∵點E為的中點，
∴OE⊥AB，
而CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠OEC=∠ECD，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OCE=∠ECD，
即CE平分∠OCD；
（3）圓周上到直線AC距離為3的點有2個．理由如下：
作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如圖，

∵OA=4，∠BAC=30°，
∴OF=OA=2，
∴GF=OG-OF=2，即在上到AC的最大距離為2cm，
∴在上沒有一個點到AC的距離為3cm，
而在上到AC的最大距離為6cm，
∴在上有兩個點到AC的距離為3cm．
考點: 圓的綜合題.