Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知矩形ABCD的邊AB、AD分別在x軸、y軸上，點A與坐標原點重合，且AB=2，AD=1．
操作：將矩形ABCD折疊，使點A落在邊DC上．
探究：
（1）我們發現折痕所在的直線與矩形的兩邊一定相交，那么相交的情形有幾種請你畫出每種情形的圖形；（只要用矩形草稿紙動手折一折你會有發現的！）
（2）當折痕所在的直線與矩形的邊OD相交于點E，與邊OB相交于點F時，設直線的解析式為y=kx+b．
①求b與k的函數關系式；
②求折痕EF的長（用含k的代數式表示），并寫出k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）此題可以首先確定兩種特殊情況：一是當點A和點D重合時，則折痕即為OD的垂直平分線；二是點A和點C重合時，則折痕是AC的垂直平分線．根據這兩種特殊情況，其它的只能位于這兩種折痕之間．
（2）令y=0，得x=-

b

k

，令x=0，得y=b，
①如圖，設A折疊后與M點重合，M的坐標為（m，1），證明△EOF∽△MDO，根據相似三角形的對應邊成比例得到

DM

EO

=

OD

FO

，則OE=b，OF=-

b

k

，DM=m，OD=1，這樣就可以用b，k表示m，然后在Rt△EDM中就可以得到k，b的關系式；
②在Rt△OEF中根據勾股定理可以用k的代數式表示了．

解答：解：（1）

（2）令y=0，得x=-

b

k

，令x=0，得y=b，
∴E（0，b），F （-

b

k

，0），
①如圖設A折疊后與M點重合，M的坐標為（m，1），連接EM，根據折疊知道EF⊥OM，而MD⊥OD，
∴△EOF∽△MDO，
∴

DM

EO

=

OD

FO

，而OE=b，OF=-

b

k

，DM=m，OD=1，
代入比例式中得到m=-k，在Rt△EDM中，EM²=ED²+DM²，而根據折疊知道OE=EM，
∴b²=（1-b）²+（-k）²，
∴b=

1+k2

2

；
②在Rt△OEF中，EF²=OE²+OF²，
∴EF=

b2+( b k )2

=b

k2+1 k2

，
∵k＜0，
∴EF=-

1+k2

2k

1+k2

，
∵OE=b＜1，OF=-

b

k

＜2，
∴-1＜k＜

3

-2．

點評：此題比較復雜，把折疊的問題放在一次函數的圖象的背景中，將代數和幾何知識結合起來解題，對學生的要求比較高．