Question

【題目】如圖，直線y＝x＋4與x軸、y軸分別交于點A和點B，點D為線段OB的中點，點C、P分別為線段AB、OA上的動點，當PC＋PD值最小時點P的坐標為_______

Answer 1

【答案】P（-2，0）

【解析】

先作點D關于x軸的對稱點D′，過點D′作D′C⊥AB垂足為C，線段D′C交x軸于點P,此時可知P D′=PD，因此PC+PD= PC+P D′=C D′，此時利用直線外一點到已知線段垂線段最短，此時PC+PD值最小，再由函數與坐標軸的交點坐標求出角度關系即可求出答案.

解：作點D關于x軸的對稱點D′，過點D′作D′C⊥AB垂足為C，線段D′C交x軸于點P，連接PD，由軸對稱的基本性質，可知P D′=PD，

∴PC+PD= PC+P D′=C D′，此時直線外一點到已知線段垂線段最短，此時PC+PD值最小．
令一次函數y=x+4中x=0，則y=4，
∴點B的坐標為（0，4）；

所以D（0,2），則D′（0，-2），OD′=2

令y=x+4中y=0，則

x+4=0，解得：x=-4，
∴點A的坐標為（-4，0）．

∴OA=OB

∴∠CBD=45°

又∵D′C⊥AB垂直為C

∴∠O D′P=45°

又∵x軸⊥y軸

∴∠OP D′=∠O D′P=45°

∴OP=OD′=2

∴P（-2，0）

故填：（-2，0）