Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】（1）直線CD與⊙O相切，理由見解析；（2）2++

【解析】

（1）直線與圓的位置關系無非是相切或不相切，可連接OD，證OD是否與CD垂直即可．

（2）陰影部分的周長可由CD+BC+扇形OBD的弧長求得；扇形的半徑和圓心角已求得，那么關鍵是求出平行四邊形CD的長，可通過證四邊形ABCD是平行四邊形，得出CD＝AB，由此可求出CD的長，即可得解．

解：（1）直線CD與⊙O相切．理由如下：

如圖，連接OD，

∵OA＝OD，∠DAB＝45°，

∴∠ODA＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，

又∵點D在⊙O上，

∴直線CD與⊙O相切；

（2）∵⊙O的半徑為1，AB是⊙O的直徑，

∴AB＝2，

∵BC∥AD，CD∥AB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝2，

由（1）知：△AOD是等腰直角三角形，

∵OA＝OD＝1，

∴BC＝AD＝，

∴圖中陰影部分的周長＝CD+BC+＝2++．