Question

（2013•自貢）如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

3

cm．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）求出∠COB的度數，求出∠A的度數，根據三角形的內角和定理求出∠OCA的度數，根據切線的判定推出即可；
（2）如解答圖所示，解題關鍵是證明△CDM≌△OBM，從而得到S_陰影=S_扇形BOC．

解答：如圖，連接BC，OD，OC，設OC與BD交于點M．
（1）證明：根據圓周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥AC，
∵OC為半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，AC為⊙O的切線，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂徑定理可知，MD=MB=

1

2

BD=3

3

．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=

MB

cos30°

=

3 3

3 2

=6．
在△CDM與△OBM中，

∠CDM=∠OBM=30° MD=MB ∠CMD=∠OMB=90°

∴△CDM≌△OBM
∴S_△CDM=S_△OBM
∴陰影部分的面積S_陰影=S_扇形BOC=

60π•62

360

=6π（cm²）．

點評：本題考查了平行線性質，切線的判定，扇形的面積，三角形的面積，圓周角定理的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．