Question

【題目】如圖，已知是線段上的兩點，，，．以為圓心以為半徑作圓弧，以為圓心以為半徑作圓弧，兩圓弧相交于點構成，設．

（1）求的取值范圍；

（2）若為直角三角形，求的值；

（3）當是銳角時，求的最大面積？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當或時，△ABC是直角三角形；（3）△ABC的最大面積為

【解析】

（1）根據三角形的三邊關系，列出關于x的不等式組，可以求得x的取值范圍；

（2）分類討論直角三角形ABC，根據勾股定理列方程，根據根的情況確定直角三角形的存在性；

（3）把△ABC的面積S的問題，轉化為S2的問題．然后利用勾股定理求出S2與x的函數關系式，再利用二次函數求最值即可．

解：（1）在△ABC中，，，，

∴

解得．

（2）①若AC為斜邊，則，

即，

此方程無實根；

②若AB為斜邊，則，

解得，滿足．

③若BC為斜邊，則，

解得，滿足．

因此當或時，△ABC是直角三角形．

（3）在△ABC中，作于D，

設CD=h，△ABC的面積為S，則S=．

∵AD＋BD=AB

∴．

移項，得．

兩邊平方，得．

整理，得．

兩邊平方，得．

整理，得

所以．

∵是銳角

∴

當時（滿足），取最大值，從而S取最大值．

即△ABC的最大面積為．