Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm，點P，Q分別從B，C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；

點Q沿CA，AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s），

（1）如圖（1），當x為何值時，PQ∥AB；

（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如圖（3），當點Q在AB上運動時，PQ與△ABC的高AD交于點O，OQ與OP是否總是相等？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當x=時，PQ∥AB；（2）x=；（3）見解析

【解析】

試題（1）首先得出△PQC為等邊三角形，進而表示出PC=4﹣x，CQ=2x，由4﹣x=2x，求出答案；

（2）根據題意得出CQ=PC，即2x=（4﹣x），求出即可；

（3）根據題意得出QH=DP，進而判斷出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解：（1）∵∠C=60°，

∴當PC=CQ時，△PQC為等邊三角形，

于是∠QPC=60°=∠B，

從而PQ∥AB，

∵PC=4﹣x，CQ=2x，

由4﹣x=2x，

解得：x=，

∴當x=時，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴CQ=PC，

即2x=（4﹣x），

解得：x=；

（3）OQ=PO，理由如下：

作QH⊥AD于H，如圖（3），

∵AD⊥BC，

∴∠QAH=30°，BD=BC=2，

∴QH=AQ=（2x﹣4）=x﹣2，

∵DP=BP﹣BD=x﹣2，

∴QH=DP，

在△OQH和△OPD中，

，

∴△OQH≌△OPD（AAS），

∴OQ=OP．