Question

二次函數y=-

1

2

x2+

3

2

x+m-2的圖象與x軸交于A、兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，且∠ACB=90°．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設計兩種方案：作一條與y軸不重合，與△ABC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的

1

4

，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標（注：設計的方案不必證明）．

Answer 1

（1）設A（x₁，0），B（X₂，0），則x₁x₂=-2（m-2），OA=-X₁，OB=x₂，
又C（0，m-2），則OC=m-2，
由△AOC∽△COB，得OC²=OA•OB=-x₁x₂，
即（m-2）²=2（m-2），又m-2＞0，
∴m=4，得y=-

1

2

x2-

3

2

x+2；

（2）方案一：分別取OB，BC的中點O₁，C₁，連接O₁C₁，
可得△BO₁C₁三個頂點的坐標，B（4，0），O₁（2，0），C₁（2，1）
方案二：在AB上取AB₂=AC=

5

，在AC上取AO₂=AO=1，作直線O₂B₂，
可得△B₂O₂A三個頂點的坐標，B2(

5

-1，0)，O2(-1+

5

5

，

2 5

5

)，A（-1，0）．