Question

如圖，弓形ABC中，∠BAC=60°，BC=2

3

，若點P在優弧BAC上由點B向點C移動，記△PBC的內心為I，點I隨點P的移動所經過的路程為m，則m的取值范圍為______．

Answer 1

如圖，將圓補全，過點O作OD⊥BC交⊙O于點D，設I為△PBC的內心連接BI、連接PD、
連接BO、連接CO、連接BD、連接CD、連接PB、連接PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2

3

，
∴∠BOD=60°，△BDO是等邊三角形，
∴BO=

3

sin60°

=2，
∴BD=BO=ID=2，
∴動點I到定點D的距離為2，即點I的軌跡是以點D為圓心，2為半徑的弧CIB（不含點C、B），
弧CIB的長為

4π

3

，
則m的取值范圍是0＜m＜

4π

3

．
故答案為：0＜m＜

4π

3

．