Question

已知△BCD中，BC=BD，以BD為直徑⊙O的交BC于E，交CD于M．

（1）如圖1，求證：

DM

=

EM

．
（2）如圖2，過B作BA∥CD交⊙O于A，若CE=2，CM=

6

，求AE的長．

Answer 1

（1）連接BM，如圖1所示，
∵BD為圓O的直徑，
∴∠BMD=90°，即BM⊥CD，
∵BD=BC，
∴BM平分∠DBC，即∠DBM=∠CBM，
∴

DM

=

EM

；

（2）連接AD，EM，DE，如圖2所示，
∵BD為圓O的直徑，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，CE=2，DC=2CM=2

6

，
根據勾股定理得：DE=

DC2-CE2

=2

5

，
∵∠DEC=∠BMC=90°，∠C=∠C，
∵△DEC∽△BMC，
∴

DE

EC

=

BM

MC

，即BM=

2 5 × 6

2

=

30

，
∵AB∥DC，
∴∠BAD=∠ADM=90°，
∵∠BMD=90°，
∴四邊形ABMD為矩形，
∴AB=DM，
∴

AB

=

DM

，
∵

DM

=

EM

，
∴

AB

=

EM

，
∴

AB

+

EB

=

EM

+

EB

，即

AE

=

BM

，
∴AE=BM=

30

．