Question

【題目】為了響應國家“自主創業”的號召，某大學畢業生開辦了一個裝飾品商店，采購了一種今年剛上市的飾品進行了30天的試銷，購進價格為20元/件，銷售結束后，得知日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的關系如圖（1）所示，銷售價格Q（元/件）與銷售時間x（天）之間的關系如圖（2）所示．

（1）根據圖象直接寫出：日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式為　 　；銷售單價

Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式為　 　．（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）寫出該商品的日銷售利潤W（元）和銷售時間x（天）之間的函數關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（3）請問在30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大？并求出這個最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）P=﹣2x+80，Q=x+30；（2）W=﹣x2+20x+800；（3）在30天的試銷中，第10天的日銷售利潤最大，最大利潤為900元

【解析】試題分析：（1）設P＝kx＋80，將（30，20）代入可求出k的值，得出日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式；設Q＝mx＋30，將（30，45）代入可求出m的值，得出Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式；

（2）根據銷售問題中的基本等量關系：銷售利潤＝日銷售量×（一件的銷售價－一件的進價），建立函數關系式；

（3）將（2）中函數關系式配方可得其頂點式，結合自變量x的范圍，根據二次函數的性質可得函數的最值情況．

試題解析：

解：（1）設P＝kx＋80，將（30，20）代入，

得20＝30k＋80，解得k＝﹣2，

所以日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式為P＝﹣2x＋80；

設Q＝mx＋30，將（30，45）代入，

得45＝30m＋30，解得m＝，

所以Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式為Q＝x＋30．

故答案為P＝﹣2x＋80，Q＝x＋30；

（2）根據題意，得W＝P（Q﹣20）＝（﹣2x＋80）[（x＋30）﹣20]＝﹣x2＋20x＋800（1≤x≤30，且x為正整數），

即W＝﹣x2＋20x＋800；

（3）∵W＝﹣x2＋20x＋800＝﹣（x﹣10）2＋900，

∴當x＝10時，W取最大值為900．

∴在30天的試銷中，第10天的日銷售利潤最大，最大利潤為900元．