Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，連接BA并延長至點D，使得AD＝AB，連接CD，點E為CD上一點，連接BE交弧BC于點F，連接AF．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）求證：∠DAF＝∠BEC；

（3）若DE＝2CE＝4，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AF＝．

【解析】

（1）欲證明CD是⊙O的切線，只要證明DC⊥BC即可；

（2）利用等角的余角相等證明即可；

（3）由△ABF∽△EBD，可得AF：DE＝AB：BE，只要求出AB，BE即可解決問題；

（1）證明：連接AC．

∵，

∴AB＝AC，

∵AB＝AD，

∴AC＝AB＝AD，

∴∠BCD＝90°，

∴CD⊥BC，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵BC是直徑，

∴∠BAC＝∠CAD＝90°，

∴∠DAF+∠CAF＝90°，

∵∠BCE＝90°

∴∠BEC+∠CBE＝90°，

∵∠CBE＝∠CAF，

∴∠DAF＝∠BEC．

（3）解：∵AB＝BD，CA⊥BD，

∴CD＝BC，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠AFB＝∠D＝45°，

∵∠ABF＝∠DBE，

∴△ABF∽△EBD，

∴AF：DE＝AB：BE，

∵DE＝2EC＝4，

∴BC＝CD＝6，AB＝3，BE＝，

∴AF＝．