Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝100°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（　　）

A.130°B.120°C.160°D.100°

Answer 1

【答案】C

【解析】

要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝80°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．

解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．

∵∠DAB＝100°，

∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，

∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°

故選：C．