Question

如圖1，在?ABCD中，AD=a，AB=

3

a，a為定值，線段AD繞著點A旋轉，旋轉時∠DAB為銳角，經過A、D、B三點的圓⊙O和邊CD相交于點F，點F不與點D重合．
（1）求∠DAB的范圍；
（2）如果AD旋轉到使得AB剛好成為⊙O的直徑（如圖2所示），請你驗證此時∠DAB的度數在第（1）問所求的范圍內，并證明：此時點F恰好是DC的一個三等分點．

Answer 1

分析：（1）連接DB，當F與D重合時，即CD與圓相切，根據平行四邊形的性質推出∠DAB=∠DBA，求出等腰三角形DAB，求出∠DAB的度數即可；
（2）求出cos∠DAB的值，即可推出∠DAB的大小；根據CD和CF的長，根據DF=CD-CF，代入求出即可．

解答：（1）解：連接DB，
當F與D重合時，此時CD與圓相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四邊形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底為根號

3

a，腰為a
∴cos∠DAB=

3 a 2

a

=

3

2

，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范圍為：30°＜∠DAB＜90°．

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑r=

1

2

AB=

3

2

a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=

AD

AB

=

1

3

=

3

3

＜

3

2

，
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范圍內．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=

3

a-2a×

3

3

=

3

3

a=

1

3

AB=

1

3

CD，
∴此時點F恰好是DC的一個三等份點．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，圓心角、弧、弦之間的關系，平行線的性質等知識點，此題綜合性比較強，對學生有較高的要求．