Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與坐標軸交于， ， 三點，其中點的坐標為，點的坐標為，連接， ．動點從點出發，在線段上以每秒個單位長度的速度向點作勻速運動；同時，動點從點出發，在線段上以每秒個單位長度的速度向點作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為秒．連接．

（）填空： __________， __________．

（）在點， 運動過程中， 可能是直角三角形嗎？請說明理由．

（）在軸下方，該二次函數的圖象上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間；若不存在，請說明理由．

（）如圖②，點的坐標為，線段的中點為，連接，當點關于直線的對稱點恰好落在線段上時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）不可能是直角三角形．理由見解析；（3）；（4）．

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣4）．將a=﹣代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；（2）連結QC．先求得點C的坐標，則PC=5﹣t，依據勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下來，依據CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）過點P作DE∥x軸，分別過點M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點F，過點P作PG⊥x軸，垂足為點G，首先證明△PAG∽△ACO，依據相似三角形的性質可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的長，然后再證明△MDP≌PEQ，從而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的長，從而可得到點M的坐標，然后將點M的坐標代入拋物線的解析式求解即可；（4）連結OP，取OP的中點R，連結RH，NR，延長NR交線段BC與點Q′．首先依據三角形的中位線定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，則RH=NR，接下來，依據等腰三角形的性質和平行線的性質證明NH是∠QNQ′的平分線，然后求得直線NR和BC的解析式，最后求得直線NR和BC的交點坐標即可．

試題解析：

（）設拋物線解析式為．

將代入得．

∴， ．

（）在、運動過程中， 不可能是直角三角形．

理由如下，連結．

∵在、運動過程中， ， 為銳角，

∴當是直角三角形時， ．

∵， ， ．

∴， ．

∴．

由勾股定理得： ．

∴， ．

∴．

∴．

解得．

又∵由題可得，

∴不成立．

∴不可能是直角三角形．

（）作平行于， 交于．

于點，延長到，使．

作交拋物線于點．

∵．

∴，

∴．

∴， ．

∵≌．

∴．

∵是等腰直角三角形．

∴≌．

∴．

∴．

∴．

解得．

∵．

∴．

（）如圖所示：連結，取的中點．

連結， ．延長交線段與點．

∵點為的中點，點為的中點．

∴， ，

∵， ．

∴點為的中點．

又∵為的中點．

∴．

∴．

∴．

∵．

∴．

∴．即是的平分線．

設直線的解析式為．把點， ．

代入得： ．

解得： ， ．

∴直線的表示為．

同理可得直線的表達式為．

設直線的函數表達式為，將點的坐標代入得：

．解得： ．

∴直線的表達式為．

將直線和直線的表達式聯立得：

，解得： ， ．

∴．