Question

【題目】我們知道，三角形的三條角平分線交于一點，這個點稱為三角形的內心(即三角形內切圓的圓心) . 現在規定，如果四邊形的四條角平分線交于一點，我們把這個點稱為“四邊形的內心”．

問題提出

（1）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC的內心，若直線DE分別交邊AC、BC于點D、E，且點O仍然為四邊形ABED的內心，這樣的直線DE可以畫多少條?請在圖1中畫出一條符合條件的直線DE，并簡要說明畫法．

問題探究

（2）如圖2，在△ABC中，∠C=90°， AC=3， BC=4，若滿足(1)中條件的一條直線DE // AB，求此時線段DE的長；

問題解決

（3）如圖3，在△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，問滿足（1）中條件的線段DE是否存在最小值?如果存在，請求出這個值;如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）如圖1，這樣的直線DE可以畫無數條；說明畫法見解析；（2）DE=；（3）存在，DE有最小值2-2．

【解析】

（1）在AC上取點D，連接OD，作∠ODA'=∠ODA，DA'與BC交于點E，通過角平分線的性質定理和逆定理分析判斷即可得到直線DE即為所求，所以這樣的直線DE有無數條；
（2）由DE // AB，得到△CDE∽△CAB，通過題中數據計算即可；
（3）先求出∠DOE= 45°，然后作△ODE的外接圓⊙O'，作O'G⊥DE于點G，連接O'O，O'D， O'E，通過O'O+O'G≥ON，即可得到DE的最小值．

解：(1) 如圖1，這樣的直線DE可以畫無數條.

在AC上取點D，連接OD，作∠ODA'=∠ODA，DA'與BC交于點E，

連接OC;如圖2，作OP⊥AC于點P，OQ⊥AB于點Q，ON⊥DE于點N，

由角平分線可知OP=ON=OM，故OE也為∠DEM的平分線，所以直線DE即為所求.

(2)在圖1中，由DE//AB,可知N、O、Q共線；作CH⊥AB于點H，交DE于點H'.

由AC·OP+ BC·OM +AB·OQ=AC·BC，有ON =OQ=OM=OP=l；

由DE // AB,有∠CDE=∠CAB，∠CED=∠CBA ，

從而△CDE∽△CAB，

故，

即，

解得DE=.

(3)存在.

圖1中，易知四邊形OPCM是正方形，△ODP≌△ODN , △OEM≌△OEN ,

從而可知∠DOE=∠POM= 45°.

如圖3,作△ODE的外接圓⊙O'，作O'G⊥DE于點G，連接O'O，O'D， O'E；

由∠DO'E=2∠DOE=90°，有O'O=O'D=，O'G=；

由O'O+O'G≥ON，有+≥1，解得DE≥2-2，

∴DE有最小值2-2.