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如圖，臨沂三河口大橋有一段拋物線行的工橋梁，拋物線的表達式為y=ax²+bx，小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和20秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需______秒．

∵當小強騎自行車行駛10秒時和20秒時拱梁的高度相同，
∴拋物線解析式的對稱軸為：x=

10+20

=15，
∴拋物線y=ax²+bx與x軸的交點坐標為；（0，0），（30，0）．
故則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需30秒．
故答案為；30．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABD₈D₁和其上方的拋物線D₁OD₈組成．若建立如圖所示的直角坐標系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC₁=4米，點D₂的坐標為（-13，-1.69），則橋架的拱高OH=______米．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，一單杠高2.2m，兩立柱間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與鐵杠的結合處A、B，繩子自然下垂，雖拋物線狀，一個身高0.7m的小孩站在距立柱0.4m處，其頭部剛好觸上繩子的D處，求繩子的最低點O到地面的距離．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求這條拋物線的解析式；
（2）設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，與兩坐標軸交點為點A

和點C，與拋物線y=ax²+ax+b交于點B，其中點A（0，2），點B（-3，1），拋物線與y軸交點D（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β為方程y₁-y₂=0的兩個根，點M（t，T）在函數y₂的圖象上．
（Ⅰ）若α=

，β=

，求函數y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數y₁與y₂的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為

123

時，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，當0＜t＜1時，試確定T，α，β三者之間的大小關系，并說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，邊BC的長為20cm，邊AC的長為hcm，在此三角形內有一個矩形CFED，點D，E，F分別在AC，AB，BC上，設AD的長為xcm，矩形CFED的面積為y（單位：cm²）．
（1）當h等于30時，求y與x的函數關系式；（不要求寫出自變量x的取值范圍）
（2）在（1）的條件下，矩形CFED的面積能否為180cm²？請說明理由；
（3）若y與x的函數圖象如圖②所示，求此時h的值．
（參考公式：二次函數y=ax²+bx+c，當x=-

時，y最大（小）值=

4ac-b2

．）

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

課題研究：現有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
初三（1）班數學興趣小組經討論得出結論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．
若∠ACB=90°，設AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請你寫出y關于x的函數關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．
若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小；
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數據（不要求寫出解答過程）．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=-2x+3與拋物線y=x²相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么△OAB的面積等于______．

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