Question

如圖所示，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求這條拋物線的解析式；
（2）設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．

Answer 1

（1）根據題意，得P（2，4），M（4，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
∵函數經過點M（4，0），則4a+4=0，
∴a=-1，
故可得函數解析式為：y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）設C點坐標為（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²），
故可得：l=2（BC+CD）=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
即當x=1時，l有最大值，即l最大值為10；