Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y＝x+1與x軸、y軸的交點分別為A、B，以x＝﹣1為對稱軸的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，設拋物線的對稱軸l與x軸交于一點D，連接PD，交AB于E，求出當以A、D、E為頂點的三角形與△AOB相似時點P的坐標；

（3）若點Q在第二象限內，且tan∠AQD＝2，線段CQ是否存在最小值？如果存在直接寫出最小值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值為-.

【解析】

（1）利用對稱性和待定系數法求函數關系式；

（2）分類討論三角形相似情況即可；

（3）由已知，滿足條件的Q點在以A、D、F（﹣1，1）的圓E在第二象限的部分，連接CE交圓于Q，則CQ最�。�

解：（1）∵直線y＝x+1與x軸交點為A，

∴點A的坐標為（﹣3，0），

∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1，

∴點C的坐標為（1，0），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、C，

∴拋物線為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x＝﹣1，

∴點D的坐標為（﹣1，0），

①當∠ADE＝90°時，△ADE∽△AOB．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，坐標為（﹣1，4）；

②當∠AED＝90°時，△AED∽△AOB．

過點P作PG⊥AC于點G，則△AED∽△PGD．

于是＝＝＝，

∴PG＝3GD．

即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），

解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合題意，舍去）．

當t＝﹣2時，﹣22+2×2+3＝3，

所以此時點P的坐標為（﹣2，3）．

綜上所述，點P的坐標是（﹣1，4）或（﹣2，3）；

（3）存在，CQ的最小值為﹣，

如圖，取點F（﹣1，1），過點ADF作圓，則點E（﹣2，）為圓心．

∵tan∠AFD＝2，

∴圓弧AFD（A、D除外）上的點都是滿足條件的Q點．

連CE交⊙E于點Q，則CQ為滿足條件的最小值，

此時CE＝＝，⊙E半徑為，

∴CQ最小值為﹣．

故答案為：（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值為-.